Para ajudar a explicar o mistério do infinito, Hilbert criou um exemplo de infinito conhecido como o Hotel de Hilbert.
Este hotel hipotético tem o desejável atributo de possuir um número infinito de quartos.
Um dia um novo hóspede chega e fica desapontado ao ser informado de que, apesar do tamanho infinito do hotel, todos os quartos estão ocupados. Hilbert, o gerente, pensa um pouco e então garante ao recém-chegado de que vai encontrar um novo quarto para ele.
Ele pede a todos os hóspedes que se mudem para o quarto adjacente, de modo que o hóspede do quarto 1 se muda para o quarto 2, o hóspede do 2 se muda para o 3 e assim por diante. Todos que estavam no hotel continuam tendo um quarto, enquanto o recém chegado pode agora ocupar o quarto número 1, que ficou vago.
Isso mostra que o infinito mais um é igual a infinito. Do mesmo modo, infinito menos um ainda continua sendo infinito, e, de fato, infinito menos um milhão ainda é infinito.
Na noite seguinte Hilbert precisa lidar comum problema ainda maior. O hotel continua cheio quando um veículo infinitamente grande chega com um número infinito de novos hóspedes. Hilbert não se deixa abalar e esfrega as mãos de contentamento pensando na quantidade infinita de diárias. Ele pede a todos os seus hóspedes anteriores para que se mudem para os quartos cujos números sejam o dobro do número do quarto anterior. Assim o hóspede do quarto 1 se muda para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 se muda para o quarto 4 e assim por diante. Todos aqueles que se encontravam no hotel continuam alojados e, no entanto um número infinito de quartos, os de números ímpares, ficaram vagos para receber os recém-chegados.
Isto mostra que o dobro do infinito ainda é infinito. E a metade do infinito continua sendo infinito.
Fonte: SINGH, Simon - O último Teorema de Fermat - páginas 108 e 109Livro: Mayra Clara
